Rで線形代数:直交行列

Rでデータサイエンス

直交行列

直交変換

一般の実内積空間\(V\)で、ベクトルの長さや交角を変えない、つまり内積を変えない線形変換\[F:V\rightarrow V\]を直交変換という。

\[(F(\textbf{a}),\,F(\textbf{b}))=(\textbf{a},\,\textbf{b})\]

直交行列

\(R^n\)上の直交変換\(F\)の表現行列\[F(x)=Tx\]の行列\(T\)を直交行列という。

以下は同値

  1. \(T\)は直交行列
  2. \(T^{'}T=TT^{'}=E\)
  3. \(T=[\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\cdots\textbf{u}_n]\)の列ベクトル\(\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\cdots\textbf{u}_n\)は\(R^n\)の正規直交基底

正方行列\(A\)が直交行列\(T\)によって\[T^{-1}AT=D\]と対角化される場合(\(D\)は対角行列)、\[A=TDT^{-1}=TDT^{'}\]故に\[A^{'}=(TDT^{'})^{'}=T^{''}D^{'}T^{'}=TDT^{'}=A\]このとき\(A\)は対称行列。

実対称行列の性質

  1. 固有値は全て実数
  2. \(n\)次実対称行列は\(n\)個の1次独立な固有ベクトルを持つ。とくに異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する。

直交行列による実対称行列の対角化

\(n\)次実対称行列\(A\)の固有値\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)を等しい固有値があれば隣り合うように並べ、対する1次独立な固有ベクトルをシュミットの直交化法で正規直交化し、\(u_1,u_2,\cdots,u_n\)を作ると\(A\)は以下の通りに直交行列\(T=[u_1,u_2,\cdots,u_n]\)によって対角化される。

\[T^{-1}AT=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\]

参考引用資料

  • 小寺平治(2015),『はじめての線形代数15講』,講談社,pp.145-151

最終更新

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[1] "2024-04-08 05:33:07 JST"

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